В начале нужно было узнать что за карта. Если Вы на неё сами положили деньги и расплачиваетесь это одно. Если оформили как кредитную, то платить потом придётся в три-пять раз больше чем потратите на покупку. А долги % будут расти как снежный ком. Поэтому и дают детям, чтобы потом бандиты (коллекторы) пришли трясти (вышибать долг) родителей.
Действительно, многие кассиры (да и многие другие люди) надумали себе, что банковскую карту можно оформить только с 18 лет! Но это не так, разумеется. В ГК РФ нет ограничений по возрасту в нормах о банковском счете. Просто сама процедура оформления требует паспорт, а он выдается с 14 лет.
Что делать? Показывай паспорт, указывай соответствие и имени с фамилией и подписи (расписался на обороте карты, надеюсь) . Если и это не поможет, то управляющего магазином, пиши отзыв в книгу жалоб и предложений.